О некоторых вопросах четырехмерной топологии: обзор современных исследований
2004jar | Михайлов Р. В.

Физическая интуиция выделяет четыре измерения как естественно соответствующие материальной реальности. И практически во всех многомерных современных физических теориях четырехмерность играет особую роль. Многомерные квантовые теории поля, теории струн часто рассматриваются вместе со своими компактификациями, т. е. в качестве основного пространства, описывающего реальность, берется некоторое четырехмерное пространство и умножается на многомерное компактное многообразие. Таким путем получается и пятимерная модель Калуцы-Клейна, и десятимерные теории суперструн.
Интересно, что с чисто математической точки зрения размерность четыре оказывается самой сложной. С первого взгляда, это противоречит нашим интуитивным представлениям о понятии размерности: ведь, чем выше размерность, тем появляется больше сложностей. Однако, это не всегда так. Новые размерности часто дают новую свободу действий. Естественно, что при этом должна возникнуть некая середина, в которой необходимая свобода действий отсутствует, а маломерные методы слабо применимы. В топологии эта середина и есть размерность 4.
Цель этой заметки – сделать небольшой обзор некоторых проблем, возникающих в 4-мерной топологии.

English:		Russian:

Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории
2004jaq | Ефремов А. П.

В статье дан обзор результатов изучения алгебраических, геометрических и дифференциальных свойств кватернионных (Q) чисел и их приложений. Кратко изложены традиционная и "тензорная" формы записи и представления Q-единиц. Установлена их структура, а также определены группы их преобразований, сохраняющие форм-инвариантность правила Q-умножения. Рассмотрен ряд математических и физических приложений: применение триад Q-единиц как подвижных реперов, построение различных семейств векторных Q-пространств, запись уравнений механики в произвольно вращающихся системах отсчета, а также реализация модели Q-теории относительности, содержащей все эффекты специальной теории относительности, но допускающей описание кинематики неинерциального движения. Приведен перечень "кватернионных совпадений" – физических соотношений и теорий, естественным образом связанных с математикой Q-чисел.

English:		Russian:

Тричисла, куб нормы которых – невырожденная триформа
2004jap | Гарасько Г. И.

Произвольная триформа приводится к каноническому виду. Требование существования двухпараметрической абелевой группы Ли -- группы симметрии триформы, позволило выделить те триформы, которые соответствуют тричислам, и найти все тричисла, куб нормы которых в специальной системе координат есть невырожденная триформа. Таких систем гиперкомплексных чисел всего (с точностью до изоморфизма) две: C₃, H₃. Их можно рассматривать, как обобщение комплексных и двойных (гиперболических) бичисел на тричисла.

English:		Russian:

О возможности теоретического ниспровержения эфира
2004eli | А. А. Элиович  // каф. теоретической физики РУДН

В работе обсуждается вопрос: возможно ли на основании уравнений классической электродинамики, без всякой апелляции к опыту, отвергнуть концепцию эфира. Критикуется недавняя попытка Т. А. Перевозского сделать это. Показано, что подобные мысленные эксперименты, в которых поля статичны и нет переходов между системами отсчета, не позволяют "закрыть" даже довольно грубые эфиродинамические теории (хотя и могут продемонстрировать, что в них возникают необычные эффекты), и ничего не дают в отношении классических эфирных теорий. Вслед за этим, выдвигаются аргументы общего характера, показывающие невозможность ниспровержения эфира на основе чисто теоретических аргументов. Обсуждается методологический контекст вопроса об эфире, роль эфира как интереснейшего методологического инструмента естествознания.

English:		Russian:

Касательно обобщенной лоренц-симметрии и обобщения уравнения Дирака
2004bg | Богословский Г. Ю., Геннер Х. Ф.

Работа посвящена обобщению уравнения Дирака на плоское локально-анизотропное, т.е. финслерово, пространство-время. Для начала мы приводим соответстующую метрику и группу обобщенных преобразований Лоренца, которая по существу является группой релятивисткой симметрии для такого пространства событий. Далее, отталкиваясь от требования обобщенной лоренц-инвариантности, мы получаем обобщенное уравнение Дирака в явном виде. Так же представлено точное решения обобщенного нелинейного уравнения Дирака.

English:		Russian:

О кватернионах I. Конечные перемещения твердого тела и точки
2002han | Ханукаев Ю. И.

Рассматривается техника кватернионов, как альтернатива векторного и матричного описания пространственных конечных перемещений твердого тела. Дано кватернионное описание преобразования Х. Лоренца

English:		Russian:

Октонионы
2002bae | Баэз Джон С.  // Математический факультет, Калифорнийский Университет, baez@math.ucr.edu

Перевод статьи ArXiv:math.RA/0105155 v4 23 Apr 2002
Октонионы -- это наибольшая из четырех нормированных алгебр с делением. Хотя и несколько пренебрегаемые из-за их неассоциативности, они стоят на пересечении многих интересных областей математики. Здесь мы опишем октонионы, их отношение к Клиффордовым алгебрам и спинорам, периодичности Ботта, проективной и Лоренцевой геометрии, йордановым алгебрам и исключительным группам Ли. Мы также затронем их приложения в квантовой логике, специальной теории относительности и суперсимметрии.

English:		Russian:

Наличие локальной релятивистской симметрии в финслеровых пространствах.
1999bgg | Богословский Г. Ю., Геннер Х. Ф.

Показано, что проблема возможного нарушения преобразований Лоренца при лоренц-факторах больших чем 5*10^10, о чем говорит сложившаяся в физике ультра высоких космических лучей (отсутствие GZK обрезания), имеет нетривиальное решение. Суть его в нахождении так называемых обобщенных преобразований Лоренца, которые, видимо, правильно связывают инерциальные системы отсчета при любых скоростях. Как и обычные преобразования Лоренца, обобщенные преобразования линейны, образуют группу и приводят к закону сложения 3-скоростей, аналогичному эйнштейновскому. Тем не менее в них заложен иной геометрический смысл. Они являются преобразованиями симметрии плоского анизотропного пространства Финслера, а не Минковского. Были рассмотрены два типа финслеровых пространств, являющихся обобщением локально изотропных римановых пространств релятивистской теории, в одном из них 3-мерная изотропия была нарушена лишь частично, во втором – полностью. В этом исследовании выдвигаются аргументы за соответствующее обобщение теории фундаментальных взаимодействий и за поиск экспериментальных данных говорящих о локальной анизотропии пространства-времени.

English:		Russian:

О возможности фазовых переходов в геометрической структуре пространства-времени.
1998bbg | Богословский Г. Ю., Геннер Х. Ф.

Показана возможность пространству времени находиться не только в состоянии, описываемом геометрией Римана, но так же и в состояниях, описываемых геометрией Финслера. Переходы между различными метрическими состояниями пространства-времени означают фазовые переходы в его геометрической структуре. Вместе с эволюциями каждого возможного метрического состояния эти переходы образуют общую картину пространственно-временной множественной динамики.

English:		Russian:

От $2D$ конформных к $4D$ самодуальным теориям: кватернионная аналитичность
1992ego | Эванс М., Гюрши Ф., Огивецкий В.

Показано, что самодуальные теории обобщают на четыре измерения как конформные, так и аналитические аспекты двумерных конформных теорий поля. На языке гармонического пространства, появляются несколько путей расширения комплексной аналитичности (естественной в двух измерениях) до кватернионной аналитичности (естественной для четырех измерений). Чтобы быть аналитичными, конформные преобразования должны быть реализованы на $CP^{3}$, которое возникает как класс смежности комплексифицированной конформной группы по модулю ее максимальной параболической подгруппы. В рамках этого подхода наглядно представляется твисторное соответствие Пенроуза и Уорда и непротиворечиво формулируется аналитичность Фютера.

English:		Russian:

Кватернионный анализ
1979sud | Садбери Энтони

Богатство теории функций комплексного переменного делает естественным поиск подобной теории для единственной иной нетривиальной ассоциативной алгебры с делением, называемой кватернионами. Такая теория существует, но она достаточно труднодоступна и еще по-видимому мало известна. Она не развивалась почти столетие после открытия кватернионов Гамильтоном. Гамильтон и его основные последователи и интерпретаторы, Тэйт и Джоли, лишь развили теорию функций кватернионных переменных настолько, насколько это было возможно посредством общих методов теории функций многих действительных переменных (основные идеи этой теории появились в их современной форме первый раз в работе Гамильтона о ватернионах). Среди всех кватернионнозначных функций кватернионных переменных они не выделили специальный класс регулярных функции аналогично регулярным функциям комплексной переменной.
Это произошло из-за того, что распространение никакого из двух фундаментальных определений аналитической функции комплексной переменной на кватернионы не дает интересных следствий; одно слишком узко, другое недостаточно узко. Функции кватернионных переменных, которые имеют кватернионные производные в очевидном смысле, есть лишь константы и линейные функции (причем не все из них); функции, которые могут быть представлены посредством кватернионных степенных рядов, есть именно те, которые могут быть представлены как степенные ряды из четырех действительных переменных.
В 1935 Р. Фютер предложил определение "регулярности" кватернионных функций посредством аналогии с уравнениями Коши-Римана. Он показал, что это определение привело к тесной аналогии с теоремой Коши, интегральной формулой Коши и разложением Лорана. В последующие 12 лет Фютер и его сотрудники развили теорию кватернионного анализа.
Теория, развитая Фютером и его школой, не завершена по нескольким направлениям и многие из их теорем не являются ни столь общими, ни столь строго доказанными, как требуют современные стандарты описания в комплексном анализе. Цель данной работы заключается в представлении замкнутого обзора главного направления кватернионного анализа, который исправляет эти недостатки, заодно добавляя некоторое число новых результатов. Используя внешнее дифференциальное исчисление мы готовы предоставить новые и простые доказательства большинства основных теорем и разъяснить связь между кватернионным анализом и комплексным анализом.

English:		Russian:

Формы, допускающие композицию
1970sch | Шафер Р. Д.

Важная статья про гиперкомплексные числа

English:		Russian:

О формах степени n, допускающих композицию
1963sch | Шафер Р. Д.

Важная статья про гиперкомплексные числа.

English:		Russian: